حل کار در کلاس صفحه 89 ریاضی هستم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 89 - کار در کلاس 1 این تمرین شامل دو تبدیل هندسی متوالی است: **دوران** و سپس **انتقال**. نکته‌ی مهم این است که **تبدیلات ایزومتریک** (مانند دوران، انتقال و بازتاب) همواره شکل هم‌نهشت تولید می‌کنند. ### **گام ۱: دوران $180^{\circ}$ حول نقطه $D$** دوران $180^{\circ}$ حول یک نقطه، هر نقطه را به نقطه‌ای در جهت مخالف مرکز دوران و به همان فاصله منتقل می‌کند. مختصات نقاط ذوزنقه‌ی $ABCD$ را از روی شبکه تعیین می‌کنیم: * $D$: مرکز دوران است، پس جابه‌جا نمی‌شود: $\mathbf{D' = D = (2, 0)}$ (با فرض گوشه‌ی پایین چپ شبکه به عنوان $(0,0)$) * $A$: مختصات $(0, 0)$. دوران $180^{\circ}$ حول $D(2, 0)$: * فاصله‌ی افقی $A$ تا $D$: $2$ واحد به راست. * $A'$ باید $2$ واحد دیگر به راست برود: $2 + 2 = 4$. * فاصله‌ی عمودی $A$ تا $D$: $0$. * $\mathbf{A' = (4, 0)}$ * $C$: مختصات $(2, 2)$. دوران $180^{\circ}$ حول $D(2, 0)$: * فاصله‌ی افقی $C$ تا $D$: $0$. * فاصله‌ی عمودی $C$ تا $D$: $2$ واحد به بالا. * $C'$ باید $2$ واحد به پایین برود: $0 - 2 = -2$. * $\mathbf{C' = (2, -2)}$ * $B$: مختصات $(1, 2)$. دوران $180^{\circ}$ حول $D(2, 0)$: * فاصله‌ی افقی $B$ تا $D$: $1$ واحد به چپ. * $B'$ باید $1$ واحد به راست برود: $2 + 1 = 3$. * فاصله‌ی عمودی $B$ تا $D$: $2$ واحد به بالا. * $B'$ باید $2$ واحد به پایین برود: $0 - 2 = -2$. * $\mathbf{B' = (3, -2)}$ شکل جدید $\mathbf{A'B'C'D'}$ یک ذوزنقه‌ی هم‌نهشت است که زیر ذوزنقه‌ی اصلی رسم می‌شود. ### **گام ۲: انتقال با بردار $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$** حالا شکل $A'B'C'D'$ را با بردار $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ (یک واحد به راست و دو واحد به پایین) انتقال می‌دهیم و آن را $\mathbf{A''B''C''D''}$ می‌نامیم: * $A' (4, 0) \xrightarrow{\text{انتقال}} A'' (4+1, 0-2) = \mathbf{(5, -2)}$ * $B' (3, -2) \xrightarrow{\text{انتقال}} B'' (3+1, -2-2) = \mathbf{(4, -4)}$ * $C' (2, -2) \xrightarrow{\text{انتقال}} C'' (2+1, -2-2) = \mathbf{(3, -4)}$ * $D' (2, 0) \xrightarrow{\text{انتقال}} D'' (2+1, 0-2) = \mathbf{(3, -2)}$ شکل جدید $\mathbf{A''B''C''D''}$ نیز یک ذوزنقه‌ی هم‌نهشت است. ### **گام ۳: کامل کردن عبارت هم‌نهشتی** همه‌ی اشکال حاصل از دوران و انتقال، با شکل اولیه **هم‌نهشت** هستند. ترتیب رؤوس در هم‌نهشتی باید حفظ شود. $$\mathbf{ABCD \cong A'B'C'D' \cong A''B''C''D''}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 89 - تمرین 2 (بخش الف) با توجه به عبارت هم‌نهشتی چهارضلعی‌ها، **تناظر رئوس** مشخص شده است: $$\mathbf{GHIJ \cong KLMN}$$ * $G \leftrightarrow K$ * $H \leftrightarrow L$ * $I \leftrightarrow M$ * $J \leftrightarrow N$ از آنجایی که دو شکل هم‌نهشت هستند، اضلاع و زوایای متناظر آن‌ها باید با هم برابر باشند. ### **۱. تساوی ضلع‌های متناظر (طول‌ها):** | ضلع در $GHIJ$ | ضلع متناظر در $KLMN$ | تساوی | مقدار | توضیحات | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\overline{GH}$ | $\overline{KL}$ | $\overline{GH} = \overline{KL}$ | نامعلوم | | | $\overline{HI}$ | $\overline{LM}$ | $\overline{HI} = \overline{LM}$ | $\mathbf{3 \text{ cm}}$ | چون $\overline{HI} = 3 \text{ cm}$ | | $\overline{IJ}$ | $\overline{MN}$ | $\overline{IJ} = \overline{MN}$ | $\mathbf{3 \text{ cm}}$ | چون $\overline{MN} = 3 \text{ cm}$ | | $\overline{JG}$ | $\overline{NK}$ | $\overline{JG} = \overline{NK}$ | $\mathbf{5 \text{ cm}}$ | چون $\overline{JG} = 5 \text{ cm}$ | **توجه بسیار مهم:** در شکل داده شده، $\overline{LN}$ به عنوان یک پاره‌خط داخلی (شاید قطر) داده شده است که طول آن $2$ سانتی‌متر است و نباید با اضلاع اصلی $\overline{NK}$، $\overline{LM}$ و ... اشتباه گرفته شود. همچنین، $\overline{IH} = 3 \text{ cm}$ و $\overline{NM} = 3 \text{ cm}$ اضلاع متناظر نیستند! ($\overline{HI}$ متناظر $\overline{LM}$ و $\overline{IJ}$ متناظر $\overline{MN}$ است). **اگر فرض کنیم که $\overline{HI}$ و $\overline{MN}$ متناظرند (برخلاف عبارت هم‌نهشتی):** اگر فرض کنیم علائم روی شکل بر تناظر ارجحیت دارد، $\overline{HI} = 3$ متناظر با $\overline{MN} = 3$ است. اما طبق عبارت $GHIJ \cong KLMN$، $\overline{HI}$ متناظر $\overline{LM}$ و $\overline{IJ}$ متناظر $\overline{MN}$ است. **حل بر اساس تناظر صحیح:** * $\overline{HI} = \overline{LM} \implies \overline{LM} = 3 \text{ cm}$ * $\overline{IJ} = \overline{MN} \implies \overline{IJ} = 3 \text{ cm}$ * $\overline{JG} = \overline{NK} \implies \overline{NK} = 5 \text{ cm}$ ### **۲. تساوی زاویه‌های متناظر:** $$\hat{G} = \hat{K} \quad , \quad \hat{H} = \hat{L} \quad , \quad \hat{I} = \hat{M} \quad , \quad \hat{J} = \hat{N}$$ اندازه‌ی هیچ‌یک از زاویه‌ها معلوم نیست، اما می‌توانیم تساوی آن‌ها را بنویسیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 89 - تمرین 2 (بخش ب) با توجه به عبارت هم‌نهشتی مثلث‌ها، **تناظر رئوس** مشخص شده است: $$\mathbf{\triangle ABC \cong \triangle DEF}$$ * $A \leftrightarrow D$ * $B \leftrightarrow E$ * $C \leftrightarrow F$ از آنجایی که دو شکل هم‌نهشت هستند، اضلاع و زوایای متناظر آن‌ها با هم برابرند. ### **۱. تساوی زاویه‌های متناظر (اندازه‌ها):** * **محاسبه‌ی $\hat{F}$:** ابتدا باید زاویه‌ی سوم مثلث $DEF$ را پیدا کنیم. مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است: $$\hat{D} + \hat{E} + \hat{F} = 180^{\circ}$$ $$52^{\circ} + 48^{\circ} + \hat{F} = 180^{\circ}$$ $$100^{\circ} + \hat{F} = 180^{\circ}$$ $$\mathbf{\hat{F} = 80^{\circ}}$$ * **زاویه‌های مثلث $ABC$:** حالا می‌توانیم زوایای متناظر در $\triangle ABC$ را بنویسیم: $$\hat{A} = \hat{D} \implies \mathbf{\hat{A} = 52^{\circ}}$$ $$\hat{B} = \hat{E} \implies \mathbf{\hat{B} = 48^{\circ}}$$ $$\hat{C} = \hat{F} \implies \mathbf{\hat{C} = 80^{\circ}}$$ ### **۲. تساوی ضلع‌های متناظر (طول‌ها):** بر اساس تناظر رئوس: * $\overline{AB} = \overline{DE}$ (رئوس اول و دوم) $$\overline{DE} = 5 \text{ cm}$$ * $\overline{BC} = \overline{EF}$ (رئوس دوم و سوم) $$\overline{EF} = \overline{BC}$$ (نامعلوم، زیرا $\overline{AC}=4 \text{ cm}$ در شکل $ABC$ داده شده است، نه $\overline{BC}$) * $\overline{AC} = \overline{DF}$ (رئوس اول و سوم) $$\overline{AC} = 3\sqrt{3} \text{ cm} \approx 5.2 \text{ cm}$$ **محاسبه‌ی $\overline{BC}$ و $\overline{EF}$:** اگر فرض کنیم $\triangle ABC$ قائم‌الزاویه نیست (چون مجموع زوایا $180^{\circ}$ است و هیچ‌کدام $90^{\circ}$ نیست)، نمی‌توانیم $\overline{BC}$ را با استفاده از $\overline{AB}$ و $\overline{AC}$ محاسبه کنیم. این ضلع مجهول باقی می‌ماند: $$\overline{BC} = \overline{EF} = \mathbf{\text{نامعلوم}}$$ (برای محاسبه نیاز به اطلاعات بیشتری مانند یک زاویه دیگر یا ارتفاع داریم.)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 89 - تمرین 3 سازه‌ی فلزی پل، از کنار هم قرار گرفتن تعداد زیادی **مثلث قائم‌الزاویه‌ی هم‌نهشت** تشکیل شده است. چون همه‌ی مثلث‌ها هم‌نهشت هستند، بنابراین تمام اجزای متناظر آن‌ها (اضلاع و زوایا) با هم برابرند. ### **۱. تعیین زوایای مثلث قائم‌الزاویه:** هر مثلث یک زاویه‌ی $90^{\circ}$ دارد. در شکل، زاویه‌ی بین مولد (قطر) و ضلع افقی برابر با $50^{\circ}$ نشان داده شده است. * **زاویه‌ی اول:** $\mathbf{\hat{A} = 90^{\circ}}$ (زاویه‌ی قائمه) * **زاویه‌ی دوم:** $\mathbf{\hat{B} = 50^{\circ}}$ (داده شده) **محاسبه‌ی زاویه‌ی سوم:** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است: $$\hat{C} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 50^{\circ})$$ $$\hat{C} = 180^{\circ} - 140^{\circ}$$ $$\mathbf{\hat{C} = 40^{\circ}}$$ **اندازه‌ی زوایای هر مثلث عبارت است از:** $\mathbf{90^{\circ}}$، $\mathbf{50^{\circ}}$ و $\mathbf{40^{\circ}}$. ### **۲. علامت‌گذاری زاویه‌های مساوی:** چون تمام مثلث‌های پل **هم‌نهشت** هستند،: * **تمام زوایای قائمه ($90^{\circ}$) با هم مساوی هستند.** (با علامت مربع کوچک) * **تمام زوایای $50^{\circ}$ با هم مساوی هستند.** (با یک کمان مشخص می‌شوند) * **تمام زوایای $40^{\circ}$ با هم مساوی هستند.** (با دو کمان مشخص می‌شوند) تمام مثلث‌ها دو ضلع قائم متناظر مساوی و یک وتر متناظر مساوی دارند، و هر سه زاویه‌ی متناظر ($90^{\circ}, 50^{\circ}, 40^{\circ}$) با هم مساوی هستند.